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衡量系统动力学的重要定量指标—Lyapunov指数

混沌映射表现出复杂的混沌行为可以从它的分叉图,Lyapunov指数和样本熵进行分析。Lyapunov指数是衡量混沌系统特性的一个重要定量指标之一,本文主要是对Lyapunov指数进行详细的讲解。

混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性,动力系统中两个起始点很近的轨迹即两个相差无几的初值所产生的轨迹,随着时间的推移按指数方式分离,lyapunov指数就是定量的描述这一现象的量。 Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。 Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton 系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m 个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。不管系统是不是耗散的,只要λ > 0就会出现混沌。 只要有一个大于零就行了。 最大的大于零,说明不止一个指数大于零,系统就会呈现混沌现象。

总结来说,Lyapunov指数λ <0,映射收敛某一点;λ = 0,映射进行周期运动;λ > 0,映射处于混沌状态。Lyapunov指数为大于0的个数越多,说明其混沌系统具有更复杂的动力学特征。

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